Definición geométrica

De la misma manera que las funciones trigonométricas permiten localizarse sobre el círculo trigonométrico, las funciones hiperbólicas dan la posición de un punto cualquiera de la rama positiva de la hipérbola de ecuación

(En un sistema de coordenadas ortonormal).
Un punto A(ch a, sh a) pertenece al esta hipérbola porque sus coordenadas verifican su ecuación, concretamente .
Esto equivale a decir que el sistema    es una representación paramétrica (o ecuación paramétrica) de esta rama de hipérbola.
Sin embargo lo más sorprendente es que el parámetro a tiene una interpretación geométrica sencilla: es el doble del área delimitada por eje de abscisas, la recta (OA) y la hipérbola (superficie dibujada en azul). La semejanza con la trigonometría circular es llamativa y deja entrever que existe un vínculo muy profundo entre ambas geometrías, la circular (euclídea) y la hiperbólica.